Задача 226 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $f\left( x \right)=\cos 2x-\cos x$.

Решение

Для исследования этой функции приведем ее к более удобному виду, используя формулу косинуса двойного угла:

\[\cos 2\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1\]

\[f\left( x \right)=\cos 2x-\cos x=2{{\cos }^{2}}x-1-\cos x\]

\[f\left( x \right)=2{{\cos }^{2}}x-\cos x-1\]

Сделаем замену переменной: $z=\cos x$, $-1\le z\le 1$, так как функция косинус может принимать значения только в этих пределах. Функция примет вид:

\[f\left( z \right)=2{{z}^{2}}-z-1\]

Таким образом, поиск наибольшего значения функции $f\left( x \right)=\cos 2x-\cos x$ сводится к поиску наибольшего значения функции $f\left( z \right)=2{{z}^{2}}-z-1$ на отрезке $z\in \left[ -1;1 \right]$.

График функции $f\left( z \right)=2{{z}^{2}}-z-1$ представляет собой параболу, с ветвями направленными вверх (т.к. коэффициент при ${{z}^{2}}$ положительный) и с вершиной в точке c абсциссой:

\[{{z}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Вычислим её:

\[{{z}_{v}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\]

Известно, что такая парабола в вершине имеет свой минимум, а значит:

при $1\le z < \frac{1}{4}$ функция $f\left( z \right)=2{{z}^{2}}-z-1$ убывает,

при $\frac{1}{4} < z\le 1$ функция $f\left( z \right)=2{{z}^{2}}-z-1$ возрастает.

И наибольшее значения функция принимает на одном из концов отрезка $z\in \left[ -1;1 \right]$.

Вычислим и сравним эти значения:

\[f\left( -1 \right)=2\cdot 1+1-1=2\]

\[f\left( 1 \right)=2\cdot 1-1-1=0\]

Наибольшее значение функции $f\left( z \right)=2{{z}^{2}}-z-1$ на отрезке $z\in \left[ -1;1 \right]$ равно 2, а значит и наибольшее значения функции $f\left( x \right)=\cos 2x-\cos x$ равно 2.

Правильный ответ

2

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
  4. Решение задач B1: №17—32
  5. Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств
  6. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности