Задача 225 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}$

Решение

Имеем функцию вида $y=\sqrt{z}$. Эта функция возрастает на всей числовой прямой, т. е. большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

А значит, наименьшего значения эта функция будет достигать в той же точке, в которой будет его достигать и функция, стоящая под знаком корня, если она в ней определена.

Теперь рассмотрим подкоренное выражение (обозначим его функцией $z$):

\[z={{x}^{2}}-4x+3\]

Знаем, что график функции вида $z=a{{x}^{2}}+bx+c$ представляет собой параболу, с ветвями, направленными вверх, если $a > 0$, с ветвями, направленными вниз, если $a < 0$.

Таким образом, графиком функции $z={{x}^{2}}-4x+3$ является парабола, с ветвями направленными вверх (так как $1 > 0$), наименьшего значения она достигает в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}-4x+3$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{4}{2\cdot (1)}=2\]

В этой точке, функция $z={{x}^{2}}-4x+3$ принимает своё наименьшее значение.

Проверим, определена ли функция $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}$ в найденной точке и вычислим:

\[y\left( 2 \right)=\sqrt{{{2}^{2}}-4\cdot 2+3}=\sqrt{-1}\]

Функция не определена.

Таким образом, область значений функции $z$ = $\left[ -1;+\infty\right]$ — так как это парабола, с ветвями, направленными вверх.

А область определения функции $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}$: $z={{x}^{2}}-4x+3\ge 0$.

Значит, область значений функции $z$, удовлетворяющая области определения функции $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}$: $z\ge 0$.

И так как функция $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}$ возрастающая (меньшему значению аргумента $z$ соответствует меньшее значение функции $y$), значит, наименьшее значение функция $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}$ принимает в наименьшем значении $z$, которые попадают в область определения функции $f$. А именно в тех точках $x$, в которых $z=0$.

Это точки существует, так как парабола с ветвями, направленными вверх и с вершиной ниже оси x, всегда имеет с ней пересечения.

Значит наименьшее значение функции $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}$ равно 0.

Правильный ответ

0

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Тригонометрические функции
  6. Семинар по задачам B10: теория вероятностей