Задача 224 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $f\left( x \right)={{\log }_{0,5}}\left( {{x}^{3}}-3x \right)$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{\log }_{a}}z$+C.

Известно, что данная функция:

возрастает, при $a > 1$,

убывает, при $a < 1$.

Так как $0,5 < 1$, значит функция $f\left( x \right)={{\log }_{0,5}}\left( {{x}^{3}}-3x \right)$ — убывает на всей области определения.

А значит, большему значению аргумента $z=\left( {{x}^{3}}-3x \right)$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Поэтому функция $y$ будет иметь минимум в той точке, в которой аргумент $z=\left( {{x}^{3}}-3x \right)$ имеет свой максимум, если она в ней определена.

Область определения функции $f\left( x \right)={{\log }_{0,5}}\left( {{x}^{3}}-3x \right)$:

\[z > 0\]

\[{{x}^{3}}-3x > 0\]

\[x\left( {{x}^{2}}-3 \right) > 0\]

\[x\left( x-\sqrt{3} \right)\left( x+\sqrt{3} \right) > 0\]

\[\left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=0\\{{x}_{2}}=-\sqrt{3}\\{{x}_{3}}=\sqrt{3}\\\end{matrix} \right. \]

Область определения функции $f\left( x \right)={{\log }_{0,5}}\left( {{x}^{3}}-3x \right)$: $x\in \left( -\sqrt{3};0 \right)\cup \left( \sqrt{3};+\infty\right)$.

Найдем точку максимума функции $z=\left( {{x}^{3}}-3x \right)$, исследуя знаки производной:

\[{{z}^{'}}=3{{x}^{2}}-3=3\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\]

\[{{z}^{'}}=0\]

\[{{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=-1\]

Получаем:

при $x < -1$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $-1 < x < 1$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > 1$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит функция $y$ возрастает на этом промежутке.

Известно, что точка максимума функции – это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$, а значит, точкой максимума функции $z=\left( {{x}^{3}}-3x \right)$ является точка $x=-1$.

Видим, что $-1\in \left( -\sqrt{3};0 \right)\cup \left( \sqrt{3};+\infty\right)$.

Значит, эта точка является точкой минимума функции $f\left( x \right)={{\log }_{0,5}}\left( {{x}^{3}}-3x \right)$.

Правильный ответ

$x=-1$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 2 (без логарифмов)
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Формула простого процента: неизвестно конечное значение