Задача 223 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y={{3}^{-7-6x-{{x}^{2}}}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{a}^{z}}$. Эта функция возрастающая. То есть большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому в той точке, в которой аргумент $z=-7-6x-{{x}^{2}}$ принимает наибольшее значение — функция $y={{3}^{-7-6x-{{x}^{2}}}}$ также принимает наибольшее значение, если она в ней определена.

Найдем эту точку.

Рассмотрим $z=-7-6x-{{x}^{2}}$. Графиком этой функции является парабола, с ветвями направленными вниз (т.к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ отрицательный).

Такая парабола принимает наибольшее значение в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z=-7-6x-{{x}^{2}}$ имеет вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{6}{2\cdot (-1)}=-3.\]

Проверим, определена ли функция $y={{3}^{-7-6x-{{x}^{2}}}}$ в найденной точке и вычислим:

$y\left( -3 \right)={{3}^{-7+18-9}}={{3}^{2}}=9$

Определена.

А значит наибольшее значение функции $y={{3}^{-7-6x-{{x}^{2}}}}$ равно 9.

Правильный ответ

16

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
  4. Решение задач B1: №17—32
  5. Тригонометрические функции
  6. Задача B5: площадь сектора