Задача 222 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{2}^{{{x}^{2}}+2x+5}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{a}^{z}}$. Эта функция возрастающая. То есть большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому в той точке, в которой аргумент $z={{x}^{2}}+2x+5$ принимает наименьшее значение — функция $y={{2}^{{{x}^{2}}+2x+5}}$ также принимает наименьшее значение, если она в ней определена.

Найдем эту точку.

Рассмотрим $z={{x}^{2}}+2x+5$. Графиком этой функции является парабола, с ветвями направленными вверх (т.к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ положительный).

Такая парабола принимает наименьшее значение в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}+2x+5$ имеет вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{-2}{2\cdot (1)}=-1.\]

Проверим, определена ли функция $y={{2}^{{{x}^{2}}+2x+5}}$ в найденной точке и вычислим:

$y\left( -1 \right)={{2}^{{{\left( -1 \right)}^{2}}-2+5}}={{2}^{4}}=16$

Определена.

А значит наименьшее значение функции $y={{2}^{{{x}^{2}}+2x+5}}$ равно 16.

Правильный ответ

16

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат