Задача 221 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y={{7}^{{{x}^{2}}+2x+3}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{a}^{z}}$. Эта функция возрастающая. То есть большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому в той точке, в которой аргумент $z={{x}^{2}}+2x+3$ имеет минимума — функция $y={{7}^{{{x}^{2}}+2x+3}}$ тоже имеет минимум, если она в ней определена.

Найдем эту точку.

Рассмотрим $z={{x}^{2}}+2x+3$. Графиком этой функции является парабола, с ветвями направленными вверх (т.к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ положительный).

Такая парабола имеет минимум в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}+2x+3$ имеет вершину и минимума в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{-2}{2\cdot (1)}=-1.\]

Проверим, определена ли функция $y={{7}^{{{x}^{2}}+2x+3}}$ в найденной точке и вычислим:

$y\left( -1 \right)={{7}^{{{\left( -1 \right)}^{2}}-2\cdot 1+3}}={{7}^{2}}=49$

Определена.

А значит точка минимума функции $y={{7}^{{{x}^{2}}+2x+3}}$: $x=-1$.

Правильный ответ

$x=-1$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией