Задача 220 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y={{11}^{6x-{{x}^{2}}}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{a}^{z}}$. Эта функция возрастающая. То есть большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому в той точке, в которой аргумент $z=6x-{{x}^{2}}$ имеет максимум — функция $y={{11}^{6x-{{x}^{2}}}}$ тоже имеет максимум, если она в ней определена.

Найдем эту точку.

Рассмотрим $z=6x-{{x}^{2}}$. Графиком этой функции является парабола, с ветвями направленными вниз (т.к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ отрицательный).

Такая парабола имеет максимум в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z=6x-{{x}^{2}}$ имеет вершину и максимум в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{6}{2\cdot (1)}=3.\]

Проверим, определена ли функция $y={{11}^{6x-{{x}^{2}}}}$ в найденной точке и вычислим:

\[y\left( 3 \right)={{11}^{6\cdot 3-{{3}^{2}}}}={{11}^{9}}\]

Определена.

А значит точка максимума функции $y={{11}^{6x-{{x}^{2}}}}$: $x=3$.

Правильный ответ

3

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты