Задача 219 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y={{\log }_{5}}\left( 4-2x-{{x}^{2}} \right)+3$

Решение

Имеем функцию вида $y={{\log }_{a}}z$+C.

Известно, что данная функция:

возрастает, при $a > 1$,

убывает, при $a < 1$.

Так как $5 > 1$, значит функция $y={{\log }_{5}}\left( 4-2x-{{x}^{2}} \right)+3$ — возрастающая функция на всей области определения.

А значит, большему значению аргумента $z=\left( 4-2x-{{x}^{2}} \right)$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому функция $y$ будет принимать наибольшее значение в той точке, в которой аргумент $z=\left( 4-2x-{{x}^{2}} \right)$ принимает наибольшее значение, если она в ней определена.

Найдем эту точку.

График функции $z=\left( 4-2x-{{x}^{2}} \right)$ — это парабола с ветвями, направленными вниз, т. к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ отрицательный.

Значит, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z=\left( 4-2x-{{x}^{2}} \right)$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{2}{-2\cdot 1}=-1\]

В этой же точке, функция $z=\left( 4-2x-{{x}^{2}} \right)$ принимает своё наибольшее значение также как и функция $y$.

Найдем это значение:

$y\left( -1 \right)={{\log }_{5}}\left( 4-2\cdot \left( -1 \right)-{{\left( -1 \right)}^{2}} \right)+3={{\log }_{5}}\left( 5 \right)+3=4$.

При $x=-1$ функция $y={{\log }_{5}}\left( 4-2x-{{x}^{2}} \right)+3$ определена – значит, $y\left( -1 \right)=4$ есть её наибольшее значение.

Правильный ответ

4

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B1: №17—32
  5. Тригонометрические функции
  6. Тест по задачам B14: легкий уровень, 2 вариант