Задача 218 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-6x+10 \right)+2$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{\log }_{a}}z$+C.

Известно, что данная функция:

возрастает, при $a > 1$,

убывает, при $a < 1$.

Так как $3 > 1$, значит функция $y={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-6x+10 \right)+2$ — возрастающая функция на всей области определения.

А значит, большему значению аргумента $z=\left( {{x}^{2}}-6x+10 \right)$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому функция $y$ будет принимать наименьшее значение в той точке, в которой аргумент $z=\left( {{x}^{2}}-6x+10 \right)$ принимает наименьшее значение, если она в ней определена.

Найдем эту точку.

График функции $z={{x}^{2}}-6x+10$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, т. к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ положительный.

Значит, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}-6x+10$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{6}{2\cdot 1}=3\]

В этой же точке, функция $z={{x}^{2}}-6x+10$ принимает своё наименьшее значение также как и функция $y$.

Найдем это значение:

\[y\left( 3 \right)={{\log }_{3}}\left( {{3}^{2}}-6\cdot 3+10 \right)+2={{\log }_{3}}\left( 1 \right)+2=0+2=2\]

При $x=3$ функция $y={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-6x+10 \right)+2$ определена — значит, $y\left( 3 \right)=2$ есть её наименьшее значение.

Правильный ответ

$2$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Основное тригонометрическое тождество
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 6 вариант
  6. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности