Задача 216 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y={{\log }_{2}}\left( 2+2x-{{x}^{2}} \right)-2$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{\log }_{a}}z$+C.

Известно, что данная функция:

возрастает, при $a > 1$,

убывает, при $a < 1$.

Так как $2 > 1$, значит функция $y={{\log }_{2}}\left( 2+2x-{{x}^{2}} \right)-2$ — возрастающая функция на всей области определения.

А значит, большему значению аргумента $z=\left( 2+2x-{{x}^{2}} \right)$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому функция $y$ будет иметь максимум в той точке, в которой аргумент $z=\left( {{x}^{2}}+4x+29 \right)$ имеет свой максимум, если она в ней определена. Найдем эту точку.

График функции $z=2+2x-{{x}^{2}}$ — это парабола с ветвями, направленными вниз, т. к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ отрицательный.

Значит, функция $z=2+2x-{{x}^{2}}$ имеет свой максимум в вершине параболы.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z=2+2x-{{x}^{2}}$ будет иметь вершину и максимум в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{2}{2\cdot 1}=1\]

Проверим, определена ли функция $y={{\log }_{2}}\left( 2+2x-{{x}^{2}} \right)-2$ в найденной точке и вычислим:

\[y\left( 1 \right)={{\log }_{2}}\left( 2+2\cdot 1-{{1}^{2}} \right)-2={{\log }_{2}}3-2\]

Определена.

А значит точка максимума функции $y={{\log }_{2}}\left( 2+2x-{{x}^{2}} \right)-2$: $x=1$.

Правильный ответ

1

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задача B15: работаем с показательной функцией без производной