Задача 215 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=\sqrt{5-4x-{{x}^{2}}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y=\sqrt{z}$. Эта функция возрастающая на всей числовой прямой, т. е. большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

А значит, наибольшее значения эта функция будет достигать в той же точке, в которой будет его достигать и функция, стоящая под знаком корня, если она в ней определена.

Теперь рассмотрим подкоренное выражение (обозначим его функцией $z$):

\[z=5-4x-{{x}^{2}}\]

Знаем, что график функции вида $z=a{{x}^{2}}+bx+c$ представляет собой параболу, с ветвями, направленными вверх, если $a > 0$, с ветвями, направленными вниз, если $a < 0$.

Таким образом, графиком функции $z=5-4x-{{x}^{2}}$ является парабола, с ветвями направленными вниз (так как $-1 < 0$), наибольшего значения она достигает в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z=5-4x-{{x}^{2}}$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{4}{-2\cdot (1)}=-2\]

В этой точке, функция $z=5-4x-{{x}^{2}}$ принимает своё наибольшее значение.

Проверим, определена ли функция $y=\sqrt{5-4x-{{x}^{2}}}$ в найденной точке и вычислим:

\[y\left( -2 \right)=\sqrt{5-4\left( -2 \right)-{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt{5+8-4}=\sqrt{9}=3\]

Определена.

А значит, наибольшее значение функции $y=\sqrt{5-4x-{{x}^{2}}}$ равно 3.

Правильный ответ

3

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Решение задач B6: №362—377
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 4 вариант
  6. Формула простого процента: как найти исходное значение