Задача 214 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+13}$.

Решение

Имеем функцию вида $y=\sqrt{z}$. Эта функция возрастающая на всей числовой прямой, т. е. большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

А значит, наименьшего значения эта функция будет достигать в той же точке, в которой будет его достигать и функция, стоящая под знаком корня, если она в ней определена.

Теперь рассмотрим подкоренное выражение (обозначим его функцией $z$):

\[z={{x}^{2}}-6x+13\]

Знаем, что график функции вида $z=a{{x}^{2}}+bx+c$ представляет собой параболу, с ветвями, направленными вверх, если $a > 0$, с ветвями, направленными вниз, если $a < 0$.

Таким образом, графиком функции $z={{x}^{2}}-6x+13$ является парабола, с ветвями направленными вверх (так как $1 > 0$), наименьшего значения она достигает в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[{{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0\]

\[2a{{x}_{v}}+b=0\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}-6x+13$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{6}{2\cdot (1)}=3\]

В этой точке, функция $z={{x}^{2}}-6x+13$ принимает своё наименьшее значение.

Проверим, определена ли функция $y=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+13}$ в найденной точке и вычислим:

\[y\left( 3 \right)=\sqrt{{{\left( 3 \right)}^{2}}-6\cdot \left( 3 \right)+13}=\sqrt{9-18+13}=2\]

Определена.

А значит, наименьшее значение функции $y=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+13}$ равно 2.

Правильный ответ

2

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией