Задача 211 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=7x-7\text{tg}x-4$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \text{tg}x \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 7x-7\text{tg}x-4 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( -7\text{tg}x \right)}^{'}}+{{\left( 7x \right)}^{'}}-{{\left( 4 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-\frac{7}{{{\cos }^{2}}x}+7=7\frac{\left( {{\cos }^{2}}x-1 \right)}{{{\cos }^{2}}x}=-7{{\text{tg}}^{2}}x\]

Производная определена во всех точках заданного отрезка.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-7{{\text{tg}}^{2}}x=0\]

\[{{\text{tg}}^{2}}x=0\]

\[x=\pi n,\ n\in Z\]

Выберем значения $x$, попадающие в указанный отрезок: $x=0$.

Теперь отметим на рисунке найденные точки и границы отрезка, исследуем поведение функции:

Видим, что производная отрицательна во всех точках области определения, кроме $x=0$, в которой она равна нулю, но не происходит смены знака. А значит функция монотонно убывает на данном отрезке. И наибольшее значение она принимает на левом конце этого отрезка,а именно в точке $x=0$.

Вычислим это значение:

\[y\left( 0 \right)=7\cdot 0-7\text{tg}0-4\]

\[\text{tg}0=0\]

\[y\left( 0 \right)=-4\]

Правильный ответ

$-4$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Типичные задачи B12 с функциями
  5. Пример решения задачи 15
  6. Задача B4: расчет времени в пути