Павел Бердов
Репетитор по математике
онлайн- Телефон: +7 495 722-16-62
Мобильный: +7 963 963-99-33
Почта: pavel@berdov.com - Вход для учеников
Павел БердовНайдите наибольшее значение функции $y=9x-8\sin x+7$ на отрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2};0 \right]$.
Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:
Областью определения данной функции является вся числовая прямая.
Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:
\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]
\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]
\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]
\[{y}'={{\left( 9x-8\sin x+7 \right)}^{'}}\]
\[{{y}^{'}}={{\left( 9x \right)}^{'}}-{{\left( 8\sin x \right)}^{'}}+{{\left( 7 \right)}^{'}}\]
\[{{y}^{'}}=9-8\cos x\]
Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.
Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).
\[{{y}^{'}}=0\]
\[9-8\cos x=0\]
\[8\cos x=9\]
\[\cos x=\frac{9}{8} > 1\]
Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{9}{8} > 1$, что не входит в область значений функции $\cos x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда положительная, поскольку:
\[-1\le \cos x\le 1\]
Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.
Поэтому своё наибольшее значение возрастающая функция принимает на правом конце заданного отрезка (при максимальном значении аргумента $x$), а именно при $=0$.
Найдем значение функции $y$ в этой точке:
\[y\left( 0 \right)=9\cdot 0-8\sin 0+7\]
\[\sin \left( 0 \right)=0\]
\[y\left( 0 \right)=7\]
7
