Задача 206 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=9x-8\sin x+7$ на отрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2};0 \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 9x-8\sin x+7 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 9x \right)}^{'}}-{{\left( 8\sin x \right)}^{'}}+{{\left( 7 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=9-8\cos x\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[9-8\cos x=0\]

\[8\cos x=9\]

\[\cos x=\frac{9}{8} > 1\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{9}{8} > 1$, что не входит в область значений функции $\cos x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда положительная, поскольку:

\[-1\le \cos x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.

Поэтому своё наибольшее значение возрастающая функция принимает на правом конце заданного отрезка (при максимальном значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[y\left( 0 \right)=9\cdot 0-8\sin 0+7\]

\[\sin \left( 0 \right)=0\]

\[y\left( 0 \right)=7\]

Правильный ответ

7

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции