Задача 204 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=3x-3\text{tg}x$ на отрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};0 \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \text{tg}x \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 3x-3\text{tg}x \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( -3\text{tg}x \right)}^{'}}+{{\left( 3x \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-3\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)=-3\left( \frac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)\]

\[{{y}^{'}}=-3\left( \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=-3{{\text{tg}}^{2}}x\]

Производная определена во всех точках, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$, в тех же точках, что и сама функция.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-3{{\text{tg}}^{2}}x=0\]

\[x=\pi n,n\in Z\]

В указанный отрезок попадает только значение $x=0$ при $n=0$.

Отметим на рисунке найденную точку и указанный отрезок, разберемся с поведением функции:

Видим, что производная отрицательна во всех точках области определения, кроме $x=0$, в которой она равна нулю, но не происходит смены знака. А значит функция монотонно убывает на данном отрезке. И наименьшее значение принимает на правом конце этого отрезка,а именно в точке $x=0$.

Вычислим это значение:

\[y\left( 0 \right)=3\cdot 0-3\text{tg}0\]

\[\text{tg}0=0\]

\[y\left( 0 \right)=0\]

Правильный ответ

0

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции