Задача 201 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=4\cos x+13x+9$ на отрезке $\left[ 0;\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Функция принимает своё наименьшее значение на заданном отрезке либо в критических точках, либо на краях этого отрезка, при условии, что она определена в этих точках.

Поэтому, чтобы найти критические точки, найдем производную заданной функции, используя основные правила дифференцирования тригонометрических и элементарных функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 4\cos x+13x+9 \right)}^{'}}=-4\sin x+13\]

Производная ${{y}^{'}}$ определена на всей числовой прямой.

Найдем точки, в которых производная обращается в нуль:

\[y'=0\]

\[-4\sin x+13=0\]

\[\sin x=\frac{13}{4}>1\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{13}{4} > 1$, что не входит в область значений функции $\sin x$.

Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда положительная, поскольку:

\[-1\le \sin x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наименьшее значение возрастающая функция принимает на левом конце заданного отрезка (при наименьшем значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдемзначение функции $y$ в этой точке:

\[y=4\cos x+13x+9\]

\[y\left( 0 \right)=4\cos \left( 0 \right)+13\cdot 0+9\]

\[\cos \left( 0 \right)=1\]

\[y\left( 0 \right)=4+9=13\]

Правильный ответ

13

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Комбинированные задачи B12
  5. Иррациональные неравенства. Часть 2
  6. Задача B4 про шерсть и свитер