Задача 200 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=2\cos x+\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right)\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 2\cos x+\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-2\sin x+\sqrt{3}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-2\sin x+\sqrt{3}=0\]

\[\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[x={{\left( -1 \right)}^{k}}\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi k,k\in Z\]

Выберем значения $x$, попадающие в указанный отрезок, зная что $\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{3}$: $x=\frac{\pi }{3}$.

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на границах отрезка.

\[y=2\cos x+\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\]

\[y\left( \frac{\pi }{3} \right)=2\cos \left( \frac{\pi }{3} \right)+\sqrt{3}\left( \frac{\pi }{3} \right)-\frac{\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\]

\[\cos \left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}\]

\[y\left( \frac{\pi }{3} \right)=2\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=1\]

\[y\left( 0 \right)=2\cos \left( 0 \right)+\sqrt{3}\left( 0 \right)-\frac{\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\]

\[\cos \left( 0 \right)=1\]

\[y\left( 0 \right)=1-\frac{\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\approx -0,8\]

\[y\left( \frac{\pi }{2} \right)=2\cos \left( \frac{\pi }{2} \right)+\sqrt{3}\left( \frac{\pi }{2} \right)-\frac{\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\]

\[\cos \left( \frac{\pi }{2} \right)=0\]

\[y\left( \frac{\pi }{2} \right)=0+\frac{\sqrt{3}\pi }{2}-\frac{\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\approx 0,9\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наибольшее значение вточке $x=\frac{\pi }{3}$ равное 1.

Правильный ответ

1

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B2: Сложный процент и стандартная формула