Задача 198 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=12\sin x-6\sqrt{3}x+\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+6$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 12\sin x-6\sqrt{3}x+\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+6 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=12\cos x-6\sqrt{3}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[12\cos x-6\sqrt{3}=0\]

\[\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[x=\pm \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+2\pi k,k\in Z\]

Выберем значения $x$, попадающие в указанный отрезок, зная, что $\arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6}]:$ $x=\frac{\pi }{6}$.

Теперь найдем значения функции в найденной точке и на границах отрезка.

\[y\left( \frac{\pi }{6} \right)=12\sin \left( \frac{\pi }{6} \right)-6\sqrt{3}\left( \frac{\pi }{6} \right)+\sqrt{3}\pi +6\]

\[\sin \left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2}\]

\[y\left( \frac{\pi }{6} \right)=12\cdot \frac{1}{2}-\sqrt{3}\pi +\sqrt{3}\pi +6=12\]

\[y\left( 0 \right)=12\sin \left( 0 \right)+6\sqrt{3}\left( 0 \right)+\sqrt{3}\pi +6\]

\[\sin \left( 0 \right)=0\]

\[y\left( 0 \right)=\sqrt{3}\pi +6\]

\[y\left( \frac{\pi }{2} \right)=12\sin \left( \frac{\pi }{2} \right)-6\sqrt{3}\left( \frac{\pi }{2} \right)+\sqrt{3}\pi +6\]

\[\sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\]

\[y\left( \frac{\pi }{2} \right)=12-3\sqrt{3}\pi +\sqrt{3}\pi +6=18-2\sqrt{3}\pi \]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наибольшее значение в точке $x=\frac{\pi }{6}$ равное 12.

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Подготовка к ЕГЭ по математике
  6. Задача B2 про комиссию в терминале