Задача 197 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=5\sin x-6x+3$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 5\sin x-6x+3 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 5\sin x \right)}^{'}}-{{\left( 6x \right)}^{'}}+{{\left( 3 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=5\cos x-6\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[5\cos x-6=0\]

\[\cos x=\frac{6}{5} > 1\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{6}{5} > 1$, что не входит в область значений функции $\cos x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда отрицательная, поскольку:

\[-1\le \cos x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ отрицательная, делаем вывод, что функция $y$ убывает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наибольшее значение убывающая функция принимает на левом конце заданного отрезка (при наименьшем значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[y\left( 0 \right)=5\sin 0-6\cdot 0+3\]

\[\sin \left( 0 \right)=0\]

\[y\left( 0 \right)=3\]

Правильный ответ

3

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
  6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции