Задача 196 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=4\cos x-20x+7$ на отрезке $\left[ 0;\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 4\cos x-20x+7 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 4\cos x \right)}^{'}}-{{\left( 20x \right)}^{'}}+{{\left( 7 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-4\sin x-20=-4\left( \sin x+5 \right)\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-4\left( \sin x+5 \right)=0\]

\[\sin x+5=0\]

\[\sin x=-5 < -1\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $-5 < -1$, что не входит в область значений функции $\sin x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда отрицательная, поскольку:

\[-1\le \sin x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ отрицательная, делаем вывод, что функция $y$ убывает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наибольшеезначение убывающая функция принимает на левомконце заданного отрезка (при минимальном значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдемзначение функции $y$ в этой точке:

\[y\left( 0 \right)=4\cos 0-20\cdot 0+7\]

\[\cos \left( 0 \right)=1\]

\[y\left( 0 \right)=4+7=11\]

Правильный ответ

11

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
  6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант