Задача 194 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=-2\text{tg}x+4x-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-3$ на отрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \text{tg}x \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( -2\text{tg}x+4x-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-3 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( -2\text{tg}x \right)}^{'}}+{{\left( 4x \right)}^{'}}-{{\left( 3+3\pi\right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-\frac{2}{{{\cos }^{2}}x}+4=2\frac{\left( 2{{\cos }^{2}}x-1 \right)}{{{\cos }^{2}}x}\]

\[{{y}^{'}}=2\left( \frac{2{{\cos }^{2}}x-1}{{{\cos }^{2}}x} \right)\]

\[2{{\cos }^{2}}x-1=\cos 2x\]

\[{{y}^{'}}=2\left( \frac{\cos 2x}{{{\cos }^{2}}x} \right)\]

Производная определена во всех точках заданного отрезка.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[2\left( \frac{\cos 2x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=0\]

\[\cos 2x=0\]

\[2x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in Z\]

\[x=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\pi k,k\in Z\]

Выберем значения $x$, попадающие в указанный отрезок:

при $k=-1,{{x}_{1}}=-\frac{\pi }{4}\in \left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$,

при $k=0,{{x}_{2}}=\frac{\pi }{4}\in \left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$.

Теперь отметим на рисунке найденный точки и границы отрезка, исследуем поведение функции:

Видим, что:

При $-\frac{\pi }{3}\le x < -\frac{\pi }{4}$, ${{y}^{'}} < 0$, значит, фунция убывает на этом промежутке $y\left( -\frac{\pi }{4} \right) < y\left( -\frac{\pi }{3} \right)$.

При $-\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{4}$, ${{y}^{'}} > 0$, значит, фунция возрастает на этом промежутке, $y\left( -\frac{\pi }{4} \right) < y\left( \frac{\pi }{4} \right)$.

При$\frac{\pi }{4} < x\le \frac{\pi }{3}$, ${{y}^{'}} < 0$, значит, фунция убывает на этом промежутке, $y\left( \frac{\pi }{3} \right) < y\left( \frac{\pi }{4} \right)$.

Значит наибольшимзначением функции на заданном отрезке, является наибольшее из двух значений:$y\left( \frac{\pi }{4} \right)$ и $y\left( -\frac{\pi }{3} \right)$.

Найдем значения и сравним:

\[\text{tg}\left( -\frac{\pi }{3} \right)=-\text{tg}\left( \frac{\pi }{3} \right)=-\sqrt{3}\]

\[y=-2\text{tg}x+4x-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-3\]

\[y\left( -\frac{\pi }{3} \right)=2\sqrt{3}-\frac{4\pi }{3}-\pi -3=-\frac{7\pi }{3}-3+2\sqrt{3}\approx -6,8\]

\[\text{tg}\left( \frac{\pi }{4} \right)=1\]

\[y\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=-2+\pi -\pi -3=-5\]

\[y\left( \frac{\pi }{4} \right) > y\left( -\frac{\pi }{3} \right)\]

Значит наибольшее значение функции на заданном отрезке: $y\left( \frac{\pi }{4} \right)=-5$

Правильный ответ

$-5$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Типичные задачи B12 с функциями
  5. Иррациональные неравенства. Часть 2
  6. Задача B4 про шерсть и свитер