Задача 192 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=\left( 2x-3 \right)\cos x-2\sin x+5$, принадлежащую промежутку $\left( 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y=\left( 2x-3 \right)\cos x-2\sin x+5$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций и производной произведения:

\[\left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g\]

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

И найдем производную от заданной функции:

\[{y}'={{\left( \left( 2x-3 \right)\cos x-2\sin x+5 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2x-3 \right)}^{\prime }}\cos x+\left( 2x-3 \right){{\left( \cos x \right)}^{\prime }}-{{\left( 2\sin x \right)}^{'}}+{{\left( 5 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=2\cos x-\left( 2x-3 \right)\sin x-2\cos x=\left( 3-2x \right)\sin x\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[{{y}^{'}}=0\]

\[\left( 3-2x \right)\sin x=0\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит:

\[\left[ \begin{matrix}3-2x=0\\\sin x=0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{3}{2}\\{{x}_{2}}=\pi k,k\in Z\\\end{matrix} \right.\]

Видим, чтовуказанныйинтервал$\left( 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right)$ попадаеттолькозначение $x=\frac{3}{2}$.

Исследуем знаки производной и поведение функции на этом интервале, отметив найденную точку и интервал на рисунке:

Найденная точка разбивает заданный интервал на две части:

При $0 < x < \frac{3}{2}$ ${{y}^{'}} > 0$, функция возрастает,

При $\frac{3}{2} < x < \frac{\pi }{2}$${{y}^{'}} < 0$ функция убывает.

Точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$на $-$. Поэтому точкой максимума функции $y=\left( 2x-3 \right)\cos x-2\sin x+5$является точка $x=\frac{3}{2}$.

Правильный ответ

$x=\frac{3}{2}$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
  5. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
  6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение