Задача 190 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=7\cos x+16x-2$ на отрезке $\left[ -\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2};0 \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 7\cos x+16x-2 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 7\cos x \right)}^{'}}+{{\left( 16x \right)}^{'}}-{{\left( 2 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-7\sin x+16 \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-7\sin x+16=0\]

\[\sin x=\frac{16}{7} > 1\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{16}{7} > 1$, что не входит в область значений функции $\sin x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда положительная, поскольку:

\[-1\le \sin x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наибольшее значение возрастающая функция принимает на правом конце заданного отрезка (при наибольшем значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=7\cos 0+16\cdot 0-2 \\ & \cos \left( 0 \right)=1 \\ & y\left( 0 \right)=7-2=5 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

5

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
  6. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты