Задача 189 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=14x-7\text{tg}x-3,5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+11$ на отрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[\begin{align}& {{\left( \text{tg}x \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 14x-7\text{tg}x-3,5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+11 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( -7\text{tg}x \right)}^{'}}+{{\left( 14x \right)}^{'}}+{{\left( 11-3,5\pi\right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{7}{{{\cos }^{2}}x}+14=7\frac{\left( 2{{\cos }^{2}}x-1 \right)}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{y}^{'}}=7\left( \frac{2{{\cos }^{2}}x-1}{{{\cos }^{2}}x} \right) \\ & 2{{\cos }^{2}}x-1=\cos 2x \\ & {{y}^{'}}=7\left( \frac{\cos 2x}{{{\cos }^{2}}x} \right) \\ \end{align}\]

Производная определена во всех точках заданного отрезка.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[7\left( \frac{\cos 2x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=0\]

\[\cos 2x=0\]

\[2x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in Z\]

\[x=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\pi k,k\in Z\]

Выберем значения $x$, попадающие в указанный отрезок:

при $k=-1,{{x}_{1}}=-\frac{\pi }{4}\in \left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$,

при $k=0,{{x}_{2}}=\frac{\pi }{4}\in \left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$.

Теперь отметим на рисунке найденный точки и границы отрезка, исследуем поведение функции:

Видим, что:

При $-\frac{\pi }{3}\le x < -\frac{\pi }{4}$, ${{y}^{'}} < 0$, значит, фунция убывает на этом промежутке, $y\left( -\frac{\pi }{4} \right) < y\left( -\frac{\pi }{3} \right)$,

При $-\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{4}$, ${{y}^{'}} > 0$, значит, фунция возрастает на этом промежутке, $y\left( -\frac{\pi }{4} \right) < y\left( \frac{\pi }{4} \right)$,

При $\frac{\pi }{4} < x\le \frac{\pi }{3}$, ${{y}^{'}} < 0$, значит, фунция убывает на этом промежутке, $y\left( \frac{\pi }{3} \right) < y\left( \frac{\pi }{4} \right)$.

Значит наибольшим значением функции на заданном отрезке, является наибольшее из двух значений:$y\left( \frac{\pi }{4} \right)$ и $y\left( -\frac{\pi }{3} \right)$.

Найдем значения и сравним:

\[\begin{align}& \text{tg}\left( -\frac{\pi }{3} \right)=-\text{tg}\left( \frac{\pi }{3} \right)=-\sqrt{3} \\ & y\left( -\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{14\pi }{3}+7\sqrt{3}-\frac{7\pi }{2}+11\approx -2,5 \\ & \text{tg}\left( \frac{\pi }{4} \right)=1 \\ & y\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=14\cdot \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}-7\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}-\frac{7}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+11=4 \\ & y\left( \frac{\pi }{4} \right) > y\left( -\frac{\pi }{3} \right) \\ \end{align}\]

Значит наибольшее значение функции на заданном отрезке: $y\left( \frac{\pi }{4} \right)=4$

Правильный ответ

4

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты