Задача 188 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=2\text{tg}x-4x+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-3$ наотрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[\begin{align}& {{\left( \text{tg}x \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 2\text{tg}x-4x+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-3 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 2\text{tg}x \right)}^{'}}-{{\left( 4x \right)}^{'}}+{{\left( \pi -3 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{2}{{{\cos }^{2}}x}-4=\frac{2-4{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{y}^{'}}=-2\left( \frac{2{{\cos }^{2}}x-1}{{{\cos }^{2}}x} \right) \\ & 2{{\cos }^{2}}x-1=\cos 2x \\ & {{y}^{'}}=-2\left( \frac{\cos 2x}{{{\cos }^{2}}x} \right) \\ \end{align}\]

Производная определена во всех точках заданного отрезка.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-2\left( \frac{\cos 2x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=0\]

\[\cos 2x=0\]

\[2x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in Z\]

\[x=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\pi k,k\in Z\]

Выберем значения $x$, попадающие в указанный отрезок:

при $k=-1,{{x}_{1}}=-\frac{\pi }{4}\in \left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$,

при $k=0,{{x}_{2}}=\frac{\pi }{4}\in \left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]$.

Теперь отметим на рисунке найденный точки и границы отрезка, исследуем поведение функции:

Видим, что:

При $-\frac{\pi }{3}\le x < -\frac{\pi }{4}$, ${{y}^{'}} > 0$, значит, фунция возрастает на этом промежутке, $y\left( -\frac{\pi }{4} \right) > y\left( -\frac{\pi }{3} \right)$,

При $-\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{4}$, ${{y}^{'}} < 0$, значит, фунция убывает на этом промежутке, $y\left( -\frac{\pi }{4} \right) > y\left( \frac{\pi }{4} \right)$,

При $\frac{\pi }{4} < x\le \frac{\pi }{3}$, ${{y}^{'}} > 0$, значит, фунция возрастает на этом промежутке, $y\left( \frac{\pi }{3} \right) > y\left( \frac{\pi }{4} \right)$.

Значит наименьшим значением функции на заданном отрезке, является наименьшее из двух значений:$y\left( \frac{\pi }{4} \right)$ и $y\left( -\frac{\pi }{3} \right)$.

Найдем значения и сравним:

\[\begin{align}& \text{tg}\left( -\frac{\pi }{3} \right)=-\text{tg}\left( \frac{\pi }{3} \right)=-\sqrt{3} \\ & y\left( -\frac{\pi }{3} \right)=-2\sqrt{3}+\frac{7\pi }{3}-3\approx 7,3-6,6\approx 0,7 \\ & \text{tg}\left( \frac{\pi }{4} \right)=1 \\ & y\left( \frac{\pi }{4} \right)=2\cdot 1-4\left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-3=-1 \\ & y\left( \frac{\pi }{4} \right) < y\left( -\frac{\pi }{3} \right) \\ \end{align}\]

Значит наименьшее значение функции на заданном отрезке: $y\left( \frac{\pi }{4} \right)=-1$

Правильный ответ

$-1$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задача B2 на проценты: вычисление полной стоимости покупки