Задача 186 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=3x-3\text{tg}x-5$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[\begin{align}& {{\left( \text{tg}x \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 3x-3\text{tg}x-5 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-{{\left( 3\text{tg}x \right)}^{'}}+{{\left( 3x \right)}^{'}}-{{\left( 5 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{3}{{{\cos }^{2}}x}+3=\frac{3{{\cos }^{2}}x-3}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{y}^{'}}=-3\left( \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=-3{{\text{tg}}^{2}}x \\ \end{align}\]

Видим, что производная всегда неположительная, а значит, функция $y=3x-3\text{tg}x-5$ убывает на всей области определения, в том числе на указанном отрезке.

Убывающая функция принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, а именно в точке $x=0$.

Вычислим:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=3\cdot 0-3\text{tg}0-5 \\ & \text{tg}0=0 \\ & y\left( 0 \right)=-5 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

$-5$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
  6. Формула простого процента: неизвестно конечное значение