Задача 184 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=16\text{tg}x-16x+4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-5$ наотрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[\begin{align}& {{\left( tgx \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 16\text{tg}x-16x+4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-5 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 16\text{tg}x \right)}^{'}}-{{\left( 16x \right)}^{'}}+{{\left( 4\pi -5 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{16}{{{\cos }^{2}}x}-16=\frac{16-16{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{y}^{'}}=16\left( \frac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=16\left( \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=16{{\text{tg}}^{2}}x \\ \end{align}\]

Видим, что производная всегда неотрицательная, а значит, функция $y=16\text{tg}x-16x+4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-5$ возрастает на всей области определения, в том числе на указанном отрезке.

Возрастающая функция принимает наибольшее значение на правом конце отрезка, а именно в точке $x=\frac{\pi }{4}$.

Вычислим:

$\begin{align}& y\left( \frac{\pi }{4} \right)=16\text{tg}\frac{\pi }{4}-16\cdot \frac{\pi }{4}+4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-5 \\ & \text{tg}\frac{\pi }{4}=1 \\ & y\left( \frac{\pi }{4} \right)=16\cdot 1-4\pi +4\pi -5=11 \\ \end{align}$

Правильный ответ

11

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
  6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение: используем формулы процентов