Задача 183 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=5\text{tg}x-5x+6$ наотрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[\begin{align}& {{\left( \text{tg}x \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 5\text{tg}x-5x+6 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 5\text{tg}x \right)}^{'}}-{{\left( 5x \right)}^{'}}+{{\left( 6 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{5}{{{\cos }^{2}}x}-5=\frac{5-5{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{y}^{'}}=5\left( \frac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=5\left( \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)=5{{\text{tg}}^{2}}x \\ \end{align}\]

Видим, что производная всегда неотрицательная, а значит, функция $y=5\text{tg}x-5x+6$ возрастает на всей области определения, в том числе на указанном отрезке.

Возрастающая функция принимает наименьшее значение на левом конце отрезка, а именно в точке $x=0$.

Вычислим:

$\begin{align}& y\left( 0 \right)=5\text{tg}0-5\cdot 0+6 \\ & \text{tg}0=0 \\ & y\left( 0 \right)=5\text{tg}0-5\cdot 0+6=6 \\ \end{align}$

Правильный ответ

6

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B15: что делать с квадратичной функцией