Задача 181 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=5\sin x+\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+6$ на отрезке $\left[ -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6};0 \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 5\sin x+\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+6 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 5\sin x \right)}^{'}}+{{\left( \frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x \right)}^{'}}+{{\left( 6 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=5\cos x+\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[5\cos x+\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}=0\]

\[\cos x=-\frac{24}{\text{5 }\!\!\pi\!\!\text{ }}<-1\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $-\frac{24}{\text{5 }\!\!\pi\!\!\text{ }} < -1$, что не входит в область значений функции $\cos x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда положительная, поскольку:

\[-1\le \cos x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наименьшее значение возрастающая функция принимает на левом конце заданного отрезка (при наименьшем значении аргумента $x$), а именно при $=-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=5\sin \left( -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)-\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\cdot \frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+6 \\ & \sin \left( -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-\sin \left( \frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-\sin \left( \pi -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-\sin \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-\frac{1}{2} \\ & y\left( -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=5\cdot \left( -\frac{1}{\text{2}} \right)-\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\cdot \frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+6=-\frac{5}{2}-14=-16,5 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

$-16,5$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
  6. Вебинар по задачам С1: тригонометрия