Задача 180 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=2\cos x-\frac{18}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+4$ на отрезке $\left[ -\frac{2\pi }{3};0 \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 2\cos x-\frac{18}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+4 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2\cos x \right)}^{'}}-{{\left( \frac{18}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x \right)}^{'}}+{{\left( 4 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-2\sin x-\frac{18}{\pi }\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-2\sin x-\frac{18}{\pi }=0\]

\[\sin x=-\frac{9}{\pi }<-1\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $-\frac{9}{\pi } < -1$, что не входит в область значений функции $\sin x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда отрицательная, поскольку:

\[-1\le \sin x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ отрицательная, делаем вывод, что функция $y$ убывает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наибольшее значение убывающая функция принимает на левом конце заданного отрезка (при минимальном значении аргумента $x$), а именно при $=-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=2\cos \left( -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)+\frac{18}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\cdot \frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+4 \\ & \cos \left( -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=\cos \left( \frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=\cos \left( \pi -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=-\frac{1}{2} \\ & y\left( -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=-1+12+4=15 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

15

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 2 (без логарифмов)
  5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение: используем формулы процентов