Задача 179 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=10\sin x-\frac{36}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+7$ на отрезке $\left[ -\frac{5\pi }{6};0 \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 10\sin x-\frac{36}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( -\frac{36}{\pi }x \right)}^{'}}+{{\left( 10\sin x \right)}^{'}}+{{\left( 7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{36}{\pi }+10\cos x \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\frac{36}{\pi }+10\cos x=0 \\ & 10\cos x=\frac{36}{\pi } \\ & \cos x=\frac{36}{10\pi }=\frac{18}{5\pi } > 1 \\ \end{align}\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{18}{5\pi } > 1$, что не входит в область значений функции $\cos x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда отрицательная, поскольку:

\[-1\le \cos x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ отрицательная, делаем вывод, что функция $y$ убывает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наибольшее значение убывающая функция принимает на левом конце заданного отрезка (при наименьшем значении аргумента $x$), а именно при $=-\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=10\sin \left( -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)+\frac{36}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\cdot \frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+7=-5+30+7=32 \\ & \sin \left( -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-\sin \left( \frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-\sin \left( \pi -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-\sin \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-\frac{1}{2} \\ & y\left( -\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)=-5+30+7=32 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

32

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 11 (без логарифмов)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня