Задача 177 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=7\sin x-8x+9$ наотрезке $\left[ -\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2};0 \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 7\sin x-8x+9 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 7\sin x \right)}^{'}}-{{\left( 8x \right)}^{'}}+{{\left( 9 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=7\cos x-8 \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[7\cos x-8=0\]

\[\cos x=\frac{8}{7}\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{8}{7}>1$, что не входит в область значений функции $\cos x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда отрицательная, поскольку:

\[-1\le \cos x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ отрицательная, делаем вывод, что функция $y$ убывает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наименьшее значение убывающая функция принимает на правом конце заданного отрезка (при максимальном значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=7\sin 0-8\cdot 0+9 \\ & \sin \left( 0 \right)=0 \\ & y\left( 0 \right)=9 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

9

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
  5. Пример решения задачи 15
  6. Задача B15: работаем с показательной функцией без производной