Задача 176 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=9\cos x+14x+7$ наотрезке $\left[ 0;\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 9\cos x+14x+7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 9\cos x \right)}^{'}}+{{\left( 14x \right)}^{'}}+{{\left( 7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-9\sin x+14 \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-9\sin x+14=0\]

\[\sin x=\frac{14}{9}\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{14}{9}>1$, что не входит в область значений функции $\sin x$ Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда больше нуля, поскольку:

\[-1<\sin x<1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наименьшее значение возрастающая функция принимает на левом конце заданного отрезка (при наименьшем значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=9\cos 0+14\cdot 0+7 \\ & \cos \left( 0 \right)=1 \\ & y\left( 0 \right)=9+7=16 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

16

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 12 (без логарифмов)
  5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
  6. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов