Павел Бердов
Репетитор по математике
онлайн- Телефон: +7 495 722-16-62
Мобильный: +7 963 963-99-33
Почта: pavel@berdov.com - Вход для учеников
Павел БердовНайдите наименьшее значение функции $y=9\cos x+14x+7$ наотрезке $\left[ 0;\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.
Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:
Областью определения данной функции является вся числовая прямая.
Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:
\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]
\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]
\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]
\[\begin{align}& {y}'={{\left( 9\cos x+14x+7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 9\cos x \right)}^{'}}+{{\left( 14x \right)}^{'}}+{{\left( 7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-9\sin x+14 \\ \end{align}\]
Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.
Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).
\[{{y}^{'}}=0\]
\[-9\sin x+14=0\]
\[\sin x=\frac{14}{9}\]
Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{14}{9}>1$, что не входит в область значений функции $\sin x$ Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда больше нуля, поскольку:
\[-1<\sin x<1\]
Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.
Поэтому, своё наименьшее значение возрастающая функция принимает на левом конце заданного отрезка (при наименьшем значении аргумента $x$), а именно при $=0$.
Найдем значение функции $y$ в этой точке:
\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=9\cos 0+14\cdot 0+7 \\ & \cos \left( 0 \right)=1 \\ & y\left( 0 \right)=9+7=16 \\ \end{align}\]
16
