Задача 175 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=15x-3\sin x+5$ наотрезке $\left[ -\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2};0 \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 15x-3\sin x+5 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 15x \right)}^{'}}-{{\left( 3\sin x \right)}^{'}}+{{\left( 5 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=15-3\cos x\]

Производнаяопределенапри$x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[15-3\cos x=0\]

\[3\cos x=15\]

\[\cos x=5\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $5>1$, что не входит в область значений функции $\cos x$. Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда положительная, поскольку:

\[-1\le \cos x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наибольшее значение возрастающая функция принимает на правом конце заданного отрезка (при максимальном значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=15\cdot 0-2\cdot \sin 0+5 \\ & \sin \left( 0 \right)=0 \\ & y\left( 0 \right)=5 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

5

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Приведение дробей к общему знаменателю
  4. Решение задач B1: №17—32
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)