Задача 174 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=5\cos x-6x+4$ на отрезке $\left[ -\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2};0 \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 5\cos x-6x+4 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-5\sin x-6\]

Производнаяопределенапри$x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[-5\sin x-6=0\]

\[\sin x=-\frac{6}{5}\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $-\frac{6}{5}<-1$, что не входит в область значений функции $\sin x$ Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда отрицательная, поскольку:

\[-1\le \sin x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ отрицательная, делаем вывод, что функция $y$ убывает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наименьшее значение убывающая функция принимает на правом конце заданного отрезка (при максимальном значении аргумента $x$), а именно при $=0$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=5\cos 0-6\cdot 0+4 \\ & \cos \left( 0 \right)=1 \\ & y\left( 0 \right)=5\cdot 1-0+4=9 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

9

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Репетитор по математике и натаскивание
  6. Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы