Задача 173 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=12\cos x+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+6$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right)\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 12\cos x+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+6 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=-12\sin x+6\sqrt{3} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -12\sin x+6\sqrt{3}=0 \\ & \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ & x={{\left( -1 \right)}^{k}}\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi k,k\in Z \\ \end{align}\]

Выберем значения $x$, попадающие в указанный отрезок: $x=\frac{\pi }{3}$.

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на границах отрезка.

\[\begin{align}& y\left( \frac{\pi }{3} \right)=12\cos \left( \frac{\pi }{3} \right)+6\sqrt{3}\left( \frac{\pi }{3} \right)-2\sqrt{3}\pi +6 \\ & \cos \left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2} \\ & y\left( \frac{\pi }{3} \right)=12\cdot \frac{1}{2}+2\sqrt{3}\pi -2\sqrt{3}\pi +6=12 \\ & y\left( 0 \right)=12\cos\left( 0 \right)+6\sqrt{3}\left( 0 \right)-2\sqrt{3}\pi +6 \\ & \cos \left( 0 \right)=1 \\ & y\left( 0 \right)=7-2\sqrt{3}\pi\\ & y\left( \frac{\pi }{2} \right)=12\cos \left( \frac{\pi }{2} \right)+6\sqrt{3}\left( \frac{\pi }{2} \right)-2\sqrt{3}\pi +6 \\ & \cos \left( \frac{\pi }{2} \right)=0 \\ & y\left( \frac{\pi }{2} \right)=0+3\sqrt{3}\pi -2\sqrt{3}\pi +6=\sqrt{3}\pi +6\approx 11,4 \\ \end{align}\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наибольшее значение в точке $x=\frac{\pi }{3}$ равное 12.

Правильный ответ

12

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
  6. Формула простого процента: как найти исходное значение