Задача 172 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=6\cos x+\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+5$ на отрезке $\left[ -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};0 \right]$.

Решение

Функция принимает своё наименьшее значение на заданном отрезке либо в критических точках, либо на краях этого отрезка, при условии, что она определена в этих точках.

Поэтому, чтобы найти критические точки, найдем производную заданной функции, используя основные правила дифференцирования тригонометрических и элементарных функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 6\cos x+\frac{24}{\pi }x+5 \right)}^{'}}=-6\sin x+\frac{24}{\pi }\]

Производная ${{y}^{'}}$ определена на всей числовой прямой.

Найдем точки, в которых производная обращается в нуль:

\[y'=0\]

\[-6\sin x+\frac{24}{\pi }=0\]

\[\sin x=\frac{4}{\pi }\]

Видим, что уравнение не имеет решений, т.к. $\frac{4}{\pi }>1$, что не входит в область значений функции $\sin x$.

Кроме того, видим, что производная ${{y}^{'}}$ всегда положительная, поскольку:

\[-1\le \sin x\le 1\]

Зная, что производная функции ${{y}^{'}}$ положительная, делаем вывод, что функция $y$ возрастает при любом значении $x$.

Поэтому, своё наименьшее значение возрастающая функция принимает на левом конце заданного отрезка (при наименьшем значении аргумента $x$), а именно при $=-\frac{2\pi }{3}$.

Найдем значение функции $y$ в этой точке:

\[\begin{align}& y\left( -\frac{2\pi }{3} \right)=6\cos \left( -\frac{2\pi }{3} \right)+\frac{24}{\pi }\left( -\frac{2\pi }{3} \right)+5 \\ & \cos \left( -\frac{2\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2} \\ & y\left( -\frac{2\pi }{3} \right)=-3-16+5=-14 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

–14

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
  6. Задачи B2 на проценты: налоги и зарплата