Задача 171 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=16x-6\sin x+6$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left( C \right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 16x-6\sin x+6 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 16x \right)}^{'}}-{{\left( 6\sin x \right)}^{'}}+{{\left( 6 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=16-6\cos x\]

Производнаяопределенапри$x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & 16-6\cos x=0 \\ & \cos x=\frac{16}{6}=2\frac{2}{3} \\ \end{align}\]

Это уравнение не имеет решений, т.к. $\cos $ не может быть больше 1.

А производная ${{y}^{'}}=16-6\cos x$ всегда положительная.

Поэтому функция $y=16x-6\sin x+6$ возрастает на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$ и наименьшее значение на этом отрезке она принимает на его левом конце, а именно в точке $x=0$.

Найдем это значение:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=16\cdot 0-6\sin 0+6 \\ & \sin \left( 0 \right)=0 \\ & y\left( 0 \right)=6 \\ \end{align}\]

Видим, что наименьшее значение функции на заданном отрезке равно 6, которое функция принимает в точке $x=0$.

Правильный ответ

$y=6$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Приведение дробей к общему знаменателю
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Как не ошибиться, если я ищу репетитора по математике
  6. Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)