Задача 170 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=15x-\sin x+8$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left(\right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 15x-\sin x+8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 15x \right)}^{'}}-{{\left( \sin x \right)}^{'}}+{{\left( 8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=15-\cos x\]

Производнаяопределенапри$x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[15-\cos x=0\]

\[\cos x=15\]

Это уравнение не имеет решений, т.к. $\cos $ не может быть больше 1.

А производная ${{y}^{'}}=15-\cos x$ всегда положительная.

Поэтому функция $y=15x-\sin x+8$ возрастает на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]$ и наименьшее значение на этом отрезке она принимает на его левом конце, а именно в точке $x=0$.

Найдемэтозначение:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=15\cdot 0-\sin 0+8 \\ & \sin \left( 0 \right)=0 \\ & y\left( 0 \right)=8 \\ \end{align}\]

Видим, что наименьшее значение функции на заданном отрезке равно 8, которое функция принимает в точке $x=0$.

Правильный ответ

$y=8$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
  6. Вебинар по задачам С1: тригонометрия