Задача 169 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=x+\frac{81}{x}+14$ на отрезке [0,5; 17].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=x+\frac{81}{x}+14$являются все значения $x$, кроме $x=0$, т. к. в этой точке знаменатель дроби равен нулю, что недопустимо.

Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой сумму элементарных функций. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилами вычисления производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{'}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( x+\frac{81}{x}+14 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( x \right)}^{'}}+{{\left( \frac{81}{x} \right)}^{'}}+{{\left( 14 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=1-\frac{81}{{{x}^{2}}} \\ \end{align}\]

Из области определения производной, видим, что $x\ne 0$, но эта точка не может являться критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции$y=x+\frac{81}{x}+14$, даже если производная при переходе через нее меняет свой знак.

Поэтому и наименьшее значение функция не может принимать в этой точке.

Теперь вычислим точки, в которых производная, ${{y}^{'}}=0$ не забывая о том, что $x\ne 0$:

\[\begin{align}& \left\{ \begin{matrix}{{y}^{'}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}1-\frac{81}{{{x}^{2}}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& \left\{ \begin{matrix}\frac{{{x}^{2}}-81}{{{x}^{2}}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}\left( x-9 \right)\left( x+9 \right)=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}{{x}_{1}}=9,{{x}_{2}}=-9\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Видим, что $x=-9$ не попадает в заданный отрезок. Отбрасываем его.

Так как наименьшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( 0,5 \right)=0,5+81\cdot 2+14=176,5 \\ & y\left( 9 \right)=9+9+14=32 \\ & y\left( 17 \right)=17+\frac{81}{17}+14=31+4\frac{13}{17}=35\frac{13}{17} \\ \end{align}\]

Видим, что наименьшее значение функции на заданном отрезке равно 32, которое функция принимает в точке $x=9$.

Правильный ответ

$y=32$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Когда действительно требуется репетитор по математике?
  6. Почему в России такой низкий уровень жизни?