Задача 165 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{4}^{{{x}^{2}}-6x+12}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{a}^{z}}$. Эта функция возрастающая. То есть большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому в той точке, в которой аргумент $z={{x}^{2}}-6x+12$ принимает наименьшее значение, в той же точке принимает наименьшее значение и функция $y={{4}^{{{x}^{2}}-6x+12}}$.

Поэтому найдем это наименьшее значение.

Рассмотрим $z={{x}^{2}}-6x+12$. Графиком этой функции является парабола, с ветвями направленными вверх (т.к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ > 0) .

Такая парабола принимает своё наименьшее значение в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[\begin{align}& {{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0 \\ & 2a{{x}_{v}}+b=0 \\ \end{align}\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}-6x+12$ имеет вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{6}{2\cdot (1)}=3\].

А то есть в этой точке принимает своё наименьшее значение, так же как и функция $y={{4}^{{{x}^{2}}-6x+12}}$.

Найдем наименьшее значение функции $y={{4}^{{{x}^{2}}-6x+12}}$:

\[y\left( 3 \right)={{4}^{{{3}^{2}}-6\cdot 3+12}}={{4}^{3}}=64\]

Функция $y={{4}^{{{x}^{2}}-6x+12}}$ определена в этой точке, значит, принимает в ней наименьшее значение равное 64.

Правильный ответ

64

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 12 (без логарифмов)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Семинар: ЕГЭ по математике, задачи B3 на площади