Задача 164 — наименьшее значение

6 декабря 2016

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+4x+29 \right)-8$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{\log }_{a}}z+C$.

Известно, что данная функция:

возрастает, при $a > 1$,

убывает, при $a < 1$ .

Так как $5 > 1$, значит функция $y={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+4x+29 \right)-8$ — возрастающая функция на всей области определения.

А значит, большему значению аргумента $z=\left( {{x}^{2}}+4x+29 \right)$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому функция$y$будет принимать наименьшее значение в той точке, в которой аргумент $z=\left( {{x}^{2}}+4x+29 \right)$ принимает наименьшее значение.

Найдем эту точку.

График функции $z={{x}^{2}}+4x+29$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, т. к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ положительный.

Значит, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[\begin{align}& {{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0 \\ & 2a{{x}_{v}}+b=0 \\ \end{align}\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}+4x+29$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2\]

В этой же точке, функция $z={{x}^{2}}+4x+29$ принимает своё наименьшее значение также как и функция $y$.

Найдем это значение:

\[\begin{align}& y\left( -2 \right)={{\log }_{5}}\left( {{\left( -2 \right)}^{2}}+4\cdot \left( -2 \right)+29 \right)-8 \\ & y\left( -2 \right)={{\log }_{5}}\left( 4-8+29 \right)-8={{\log }_{5}}\left( 25 \right)-8=2-8=-6 \\ \end{align}\]

При $x=-2$ функция $y={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+4x+29 \right)-8$ определена — значит это и есть её наименьшее значение.

Правильный ответ

$-6$

Смотрите также: