Задача 163 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=7x-7\text{tg}x-4$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[\begin{align}& {{\left( tgx \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 7x-7\operatorname{tg}x-4 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 7x \right)}^{'}}-{{\left( 7\operatorname{tg}x \right)}^{'}}-{{\left( 4 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=7-\frac{7}{{{\cos }^{2}}x} \\ \end{align}\]

Производная не определена при:

\[\begin{align}& \cos x=0 \\ & x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ \end{align}\]

То есть, определена на всем заданном отрезке $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & 7-\frac{7}{{{\cos }^{2}}x}=0 \\ & \frac{7{{\cos }^{2}}x-7}{{{\cos }^{2}}x}=0 \\ &\\ \end{align}\]

Учитывая область определения, получаем:

\[7{{\cos }^{2}}x-7=0\]

\[{{\cos }^{2}}x=1\]

\[\left[ \begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=-1\\\end{matrix} \right.\]

\[\left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=2\pi k,k\in Z\\{{x}_{2}}=\pi +2\pi n,n\in Z\\\end{matrix} \right.\]

Видим, что в заданный отрезок попадает только значение ${{x}_{1}}$ при $k=0$: ${{x}_{1}}=0$.

И оно совпадает с левым концом заданного отрезка.

Сравним значения функции в этих точках:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=7\cdot 0-7\operatorname{tg}0-4 \\ & \operatorname{tg}\left( 0 \right)=0 \\ & y\left( 0 \right)=7\cdot 0-7\cdot 0-4=-4 \\ & y\left( \frac{\pi }{4} \right)=7\frac{\pi }{4}-7\operatorname{tg}\frac{\pi }{4}-4=7\frac{\pi }{4}-7\cdot 1-4 \\ & \operatorname{tg}\frac{\pi }{4}=1 \\ & y\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{7\pi }{4}-7\approx \frac{7\cdot 3,14}{4}-26\approx -4,02 \\ \end{align}\]

Наибольшее значение функции $y=7x-7\operatorname{tg}x-4$ на заданном отрезке равно$-4$.

Правильный ответ

$-4$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Приведение дробей к общему знаменателю
  4. Решение задач B1: №17—32
  5. Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств
  6. Задача B5: площадь кольца