Задача 162 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{4}^{{{x}^{2}}-2x+5}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{a}^{z}}$. Эта функция возрастающая. То есть большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому в той точке, в которой аргумент $z={{x}^{2}}-2x+5$ принимает наименьшее значение, в той же точке принимает наименьшее значение и функция $y={{4}^{{{x}^{2}}-2x+5}}$.

Поэтому найдем это наименьшее значение.

Рассмотрим $z={{x}^{2}}-2x+5$. Графиком этой функции является парабола, с ветвями направленными вверх (т.к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ > 0) .

Такая парабола принимает своё наименьшее значение в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[\begin{align}& {{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0 \\ & 2a{{x}_{v}}+b=0 \\ \end{align}\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}-2x+5$ имеет вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{2}{2\cdot (1)}=1\].

А то есть в этой точке принимает своё наименьшее значение, так же как и функция $y={{4}^{{{x}^{2}}-2x+5}}$.

Найдем наименьшее значение функции $y={{4}^{{{x}^{2}}-2x+5}}$:

\[y\left( 1 \right)={{4}^{{{1}^{2}}-2\cdot 1+5}}={{4}^{4}}=256.\]

Функция $y={{4}^{{{x}^{2}}-2x+5}}$определена в этой точке, значит, принимает в ней наименьшее значение равное 256.

Правильный ответ

256

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Репетитор по математике и помощь экстернату
  6. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности