Задача 161 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+6x+25 \right)-5$

Решение

Имеем функцию вида $y={{\log }_{a}}z+C$.

Известно, что данная функция:

возрастает, при $a > 1$,

убывает, при $a < 1$ .

Так как $4 > 1$, значит функция $y={{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+6x+25 \right)-5$ — возрастающая функция на всей области определения.

А значит, большему значению аргумента $z=\left( {{x}^{2}}+6x+25 \right)$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому функция$y$будет принимать наименьшее значение в той точке, в которой аргумент $z=\left( {{x}^{2}}+6x+25 \right)$ принимает наименьшее значение.

Найдем эту точку.

График функции $z={{x}^{2}}+6x+25$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, т. к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ положительный.

Значит, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[\begin{align}& {{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0 \\ & 2a{{x}_{v}}+b=0 \\ \end{align}\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}+4x+8$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=-\frac{6}{2\cdot 1}=-3\]

В этой же точке, функция $z={{x}^{2}}+6x+25$ принимает своё наименьшее значение также как и функция $y$.

Найдем это значение:

\[\begin{align}& y\left( -3 \right)={{\log }_{4}}\left( {{\left( -3 \right)}^{2}}+6\cdot \left( -3 \right)+25 \right)-5 \\ & y\left( -3 \right)={{\log }_{4}}\left( 9-18+25 \right)-5={{\log }_{4}}\left( 16 \right)-5=2-5=-3 \\ \end{align}\]

При $x=-3$ функция $y={{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+6x+25 \right)-5$ определена — значит это и есть её наименьшее значение.

Правильный ответ

$-3$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
  4. Решение задач B6: №362—377
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Задача B5: вычисление площади методом обводки