Задача 160 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=61x-61\text{tg}x+35$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.

Значит, на указанном отрезке функция определена.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[\begin{align}& {{\left( tgx \right)}^{'}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {y}'={{\left( 61x-61\operatorname{tg}x+35 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 61x \right)}^{'}}-{{\left( 61\operatorname{tg}x \right)}^{'}}+{{\left( 35 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=61-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ \end{align}\]

Производная не определена при:

\[\begin{align}& \cos x=0 \\ & x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ \end{align}.\]

То есть определена на всем заданном отрезке $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]$ .

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & 61-\frac{61}{{{\cos }^{2}}x}=0 \\ & \frac{61{{\cos }^{2}}x-61}{{{\cos }^{2}}x}=0 \\ &\\ \end{align}\]

Учитывая область определения, получаем:

\[61{{\cos }^{2}}x-61=0\]

\[{{\cos }^{2}}x=1\]

\[\left[ \begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=-1\\\end{matrix} \right.\]

\[\left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=2\pi k,k\in Z\\{{x}_{2}}=\pi +2\pi n,n\in Z\\\end{matrix} \right.\]

Видим, что в заданный отрезок попадает только значение ${{x}_{1}}$ при $k=0$: ${{x}_{1}}=0$.

И оно совпадает с левым концом заданного отрезка.

Сравним значения функции в этих точках:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=61\cdot 0-61\operatorname{tg}0+35=35 \\ & y\left( \frac{\pi }{4} \right)=61\frac{\pi }{4}-61\operatorname{tg}\frac{\pi }{4}+35=61\frac{\pi }{4}-61\cdot 1+35= \\ & =61\frac{\pi }{4}-26\approx \frac{61\cdot 3,14}{4}-26\approx 21,9 \\ \end{align}\]

Наибольшее значение функции $y=61x-61\operatorname{tg}x+35$ на заданном отрезке равно 35.

Правильный ответ

35

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Приведение дробей к общему знаменателю
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Формула простого процента: как найти исходное значение