Задача 159 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=8\ln \left( x+7 \right)-8x+3$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=8\ln \left( x+7 \right)-8x+3$: $x+7 > 0$.

\[\begin{align}& x+7 > 0 \\ & x > -7 \\ \end{align}\]

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 8\ln \left( x+7 \right)-8x+3 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 8\ln \left( x+7 \right) \right)}^{'}}-{{\left( 8x \right)}^{'}}+{{\left( 3 \right)}^{'}}=\frac{8}{x+7}-8 \\ & {{y}^{'}}=\frac{8-8x-56}{x+7}=\frac{-8\left( x+6 \right)}{\left( x+7 \right)} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{8\left( x+6 \right)}{\left( x+7 \right)} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\frac{8\left( x+6 \right)}{\left( x+7 \right)}=0 \\ \end{align}\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 8\left( x+6 \right)=0 \\ & x=-6 \\ \end{align}\]

При найденном значении функция определена.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -6 \\ & x > -6 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $-7\le x < -6$, ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит,

при $x > -6$ ${{y}^{'}} < 0$, убывает на этом промежутке.

Точкой максимума функции (точка из области определения функции, при переходе через которую производная меняет свой знак с$+$ на $-$) является точка $x=-6$.

Правильный ответ

$x=-6$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Репетитор по математике и натаскивание
  6. Задачи на проценты: стандартный расчет с помощью пропорций