Задача 158 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=0,5{{x}^{2}}-7x+12\ln x+8$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=0,5{{x}^{2}}-7x+12\ln x+8$: $x > 0$.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 0,5{{x}^{2}}-7x+12\ln x+8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 0,5{{x}^{2}} \right)}^{'}}-{{\left( 7x \right)}^{'}}+{{\left( 12\ln x \right)}^{'}}+{{\left( 8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=x-7+\frac{12}{x}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & x-7+\frac{12}{x}=0 \\ & \frac{{{x}^{2}}-7x+12}{x}=0 \\ \end{align}\]

Так как знаменатель не равен нулю, то:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}-7x+12=0 \\ & D=49-48=1 \\ & \sqrt{D}=1 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{7+1}{2}=4\\{{x}_{2}}=\frac{7-1}{2}=3\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=\frac{\left( x-4 \right)\left( x-3 \right)}{x} \\ \end{align}\]

В найденных точках функция определена.

При $x=0$ функция и ее производная не определены, поэтому эта точка не может быть точкой экстремума, даже если производная в ней меняет знак.

Исследуем знаки производной:

Получаем:

при $0 < x < 3$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $3 < x < 4$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > 4$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке.

Известно, что точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$.

Поэтому точкой максимума функции $y=0,5{{x}^{2}}-7x+12\ln x+8$является точка $x=3$.

Правильный ответ

$x=3$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
  4. Решение задач B6: №362—377
  5. Как не ошибиться, если я ищу репетитора по математике
  6. Задача B5: площадь сектора