Задача 157 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=2\ln {{\left( x+4 \right)}^{3}}-8x-19$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=2\ln {{\left( x+4 \right)}^{3}}-8x-19$: ${{\left( x+4 \right)}^{3}} > 0$.

Поэтому:

\[\begin{align}& x+4 > 0 \\ & x > -4 \\ \end{align}\]

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 2\ln {{\left( x+4 \right)}^{3}}-8x-19 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 2\ln {{\left( x+4 \right)}^{3}} \right)}^{'}}-{{\left( 8x \right)}^{'}}-{{\left( 19 \right)}^{1}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{6}{x+4}-8=\frac{6-8x-32}{x+4}=\frac{-8x-26}{x+4} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{2\left( 4x+13 \right)}{x+4} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\frac{2\left( 4x+13 \right)}{x+4}=0 \\ \end{align}\]

Так как знаменатель не равен нулю, то:

\[\begin{align}& -2\left( 4x+13 \right)=0 \\ & 4x+13=0 \\ & x=-\frac{13}{4}=-3,25 \\ & {{y}^{'}}=-8\left( x+3,25 \right) \\ \end{align}\]

При $x=-3,25$ функция определена.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -3,25 \\ & x > -3,25 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке. Учтем область определения функции:

Получаем:

при $-4 < x < -3,25$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $x > -3,25$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

Известно, что точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$.

Поэтому точкой максимума функции $y=2\ln {{\left( x+4 \right)}^{3}}-8x-19$является точка $x=-3,25$.

Правильный ответ

$x=-3,25$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Когда действительно требуется репетитор по математике?
  6. Семинар по задачам B10: теория вероятностей