Задача 156 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y={{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{x}^{2}}+4x+8 \right)$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{\log }_{a}}z$.

Известно, что данная функция:

возрастает, при $a > 1$,

убывает, при $a < 1$.

Так как $\frac{1}{4} < 1$, значит функция $y={{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{x}^{2}}+4x+8 \right)$ — убывающая функция на всей области определения.

А значит, большему значению аргумента $z=\left( {{x}^{2}}+4x+8 \right)$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Поэтому функция $y$ будет принимать наибольшее значение в той точке, в которой аргумент $z=\left( {{x}^{2}}+4x+8 \right)$ принимает наименьшее значение.

Найдем эту точку.

График функции $z={{x}^{2}}+4x+8$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, т. к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ положительный.

Значит, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[\begin{align}& {{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0 \\ & 2{{x}_{v}}+b=0 \\ \end{align}\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}+4x+8$ будет иметь вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2\]

В этой же точке, функция $z={{x}^{2}}+4x+8$ принимает своё наименьшее значение, а функция $y$ — наибольшее.

Найдем это значение:

\[y\left( -2 \right)={{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{\left( -2 \right)}^{2}}+4\cdot \left( -2 \right)+8 \right)=-1\]

При $x=-2$ функция $y={{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{x}^{2}}+4x+8 \right)$ определена — значит это и есть её наибольшее значение.

Правильный ответ

$-1$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B1: №17—32
  5. Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств
  6. Задача B5: площадь закрашенного сектора